We show existence and uniqueness of very weak solutions of the Cauchy problem for the porous medium equation on Cartan-Hadamard manifolds satisfying suitable lower bounds on Ricci curvature, with initial data that can grow at infinity at a prescribed rate, that depends crucially on the curvature bounds. In particular, the pressure at infinity can grow at most linearly on the hyperbolic space, and quadratically both on the Euclidean space and on a class of manifolds whose Ricci curvature vanishes sufficiently fast at infinity.The curvature conditions we require are sharp for uniqueness in the sense that if they are not satisfied then, in general, there can be infinitely many solutions of the Cauchy problem even for bounded data. Furthermore, under matching upper bounds on sectional curvatures, we give a precise estimate for the maximal existence time, and we show that in general solutions do not exist if the initial data grow at infinity too fast. This proves in particular that the growth rate of the data we consider is optimal for existence. Pointwise blow-up is also shown for a particular class of manifolds and of initial data. On montre l'existence et l'unicité de solutions très faibles du problème de Cauchy pour l'équation des milieux poreux sur variétés de Cartan-Hadamard qui satisfont des bornes inférieures sur la courbure de Ricci, avec des données initiales qui peuvent croître à l'infini à un taux contrôlé, qui dépend de manière cruciale des bornes de courbure. En particulier, la pression à l'infini peut croître au plus linéairement sur l'espace hyperbolique, et quadratiquement sur l'espace euclidien ainsi que dans une classe de variétés dont la courbure de Ricci tend vers zéro de manière suffisamment rapide à l'infini.Les conditions de courbure qu'on impose sont optimales en ce qui concerne l'unicité, dans la mesure où, si elles ne sont pas satisfaites, en général il peut y avoir une infinité de solutions du problème de Cauchy, même avec des données initiales bornées. En plus, en imposant des bornes supérieures sur les courbures sectionnelles qui correspondent à celles inférieures, on fournit une estimation précise du temps maximal d'existence, et on démontre qu'en général les solutions n'existent pas si la donnée initiale croît trop vite à l'infini. Cela prouve, en particulier, que le taux de croissance de la donnée initiale qu'on considère est optimal pour l'existence. Finalement, on montre un résultat d'explosion ponctuelle pour une classe particulière de variétés et de données initiales.

The porous medium equation with large initial data on negatively curved Riemannian manifolds

Grillo, Gabriele;Muratori, Matteo;PUNZO, FABIO
2018

Abstract

We show existence and uniqueness of very weak solutions of the Cauchy problem for the porous medium equation on Cartan-Hadamard manifolds satisfying suitable lower bounds on Ricci curvature, with initial data that can grow at infinity at a prescribed rate, that depends crucially on the curvature bounds. In particular, the pressure at infinity can grow at most linearly on the hyperbolic space, and quadratically both on the Euclidean space and on a class of manifolds whose Ricci curvature vanishes sufficiently fast at infinity.The curvature conditions we require are sharp for uniqueness in the sense that if they are not satisfied then, in general, there can be infinitely many solutions of the Cauchy problem even for bounded data. Furthermore, under matching upper bounds on sectional curvatures, we give a precise estimate for the maximal existence time, and we show that in general solutions do not exist if the initial data grow at infinity too fast. This proves in particular that the growth rate of the data we consider is optimal for existence. Pointwise blow-up is also shown for a particular class of manifolds and of initial data. On montre l'existence et l'unicité de solutions très faibles du problème de Cauchy pour l'équation des milieux poreux sur variétés de Cartan-Hadamard qui satisfont des bornes inférieures sur la courbure de Ricci, avec des données initiales qui peuvent croître à l'infini à un taux contrôlé, qui dépend de manière cruciale des bornes de courbure. En particulier, la pression à l'infini peut croître au plus linéairement sur l'espace hyperbolique, et quadratiquement sur l'espace euclidien ainsi que dans une classe de variétés dont la courbure de Ricci tend vers zéro de manière suffisamment rapide à l'infini.Les conditions de courbure qu'on impose sont optimales en ce qui concerne l'unicité, dans la mesure où, si elles ne sont pas satisfaites, en général il peut y avoir une infinité de solutions du problème de Cauchy, même avec des données initiales bornées. En plus, en imposant des bornes supérieures sur les courbures sectionnelles qui correspondent à celles inférieures, on fournit une estimation précise du temps maximal d'existence, et on démontre qu'en général les solutions n'existent pas si la donnée initiale croît trop vite à l'infini. Cela prouve, en particulier, que le taux de croissance de la donnée initiale qu'on considère est optimal pour l'existence. Finalement, on montre un résultat d'explosion ponctuelle pour une classe particulière de variétés et de données initiales.
A priori estimates; Blow-up; Cartan-Hadamard manifolds; Large data; Nonexistence; Porous medium equation; Primary; Secondary; Mathematics (all); Applied Mathematics
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