Energy transfer between modes in a nonlinear beam equation

We consider the nonlinear nonlocal beam evolution equation introduced by Woinowsky-Krieger We study the existence and behavior of periodic solutions: these are called nonlinear modes. Some solutions only have two active modes and we investigate whether there is an energy transfer between them. The answer depends on the geometry of the energy function which, in turn, depends on the amount of compression compared to the spatial frequencies of the involved modes. Our results are complemented with numerical experiments; overall, they give a complete picture of the instabilities that may occur in the beam. We expect these results to hold also in more complicated dynamical systems. On considère l'équation d'évolution de la poutre non linéaire et non locale introduite par Woinowsky-Krieger On étudie l'existence et le comportement des solutions périodiques: on les appelle modes non linéaires. Certaines solutions ont seulement deux modes actifs et on étudie le possible transfert d'énergie entre eux. La réponse dépend de la géométrie de la fonctionnelle d'énergie qui, à son tour, dépend de la quantité de compression et des fréquences spatiales des modes actifs. Les résultats sont complétés par des expérimentations numériques ; ils donnent une description d'ensemble assez complète des instabilités qui peuvent apparaître dans la poutre. On s'attend à ce que ces résultats soient valables aussi pour des systèmes dynamiques plus compliqués.